Långfredag: Grigori Perelman och Poincarés förmodan

2012-04-07 12:52 8 kommentarer

På fredagar skriver bloggen så långt den vill om vad den känner för. Denna lördag (eftersom gårdagen faktiskt var Långfredag, och det kändes lite för bra för att vara sant) om matematik.

Allt började med Henri Poincaré, en fransk sekelskiftesmatematiker, fysiker och filosof. Poincaré var en av de sista vetenskapsmän som excellerade inom samtliga delar av sin disciplin. Han låg i tätfältet inom snart sagt varje gren av matematik och fysik (förvisso beroende på att båda vetenskaperna utvecklats dramatiskt under modern tid, vilket tvingat dess utövare att nischa sig snarare än att kunna unna sig en helhetssyn). Poincaré vidhöll att matematiken var ologisk, och arbetade instinktivt. Han la aldrig ner speciellt lång tid på varje problem, med fast övertygelse om att hans undermedvetna fortsatte att processa dilemmat samtidigt som han själv skiftade sin koncentration mot nya horisonter. När han återvände till gamla formler fann han dem lättare att lösa. Poincaré dog 1912, bara 58 år gammal. Han lämnade efter sig ett problem som kom att förbli olöst i nästan hundra år, en period under vilken det blev känd som matematikens heliga graal.

Frågeställningen i Poincarés förmodan, som problemet är känt, är inte lätt att förstå för en lekman: Det handlar om algebraisk topologi, och gör antagandet att en tredimensionell mångfald även är en sfär, men saknar bevisföring. Inte heller de långtgående konsekvenser som ett matematiskt hållbart bevis skulle få är uppenbara för den oinsatte. Faktum är att vi själva bebor en tredimensionell mångfald: Vårt universum. En lösning av Poincarés förmodan skulle därmed inte bara utgöra ett matematiskt genombrott, utan även påverka studiet av vår värld.

Clayinstitutet, en matematisk, icke inkomstdrivande stiftelse med rötterna i USA:s akademiska Ivy League, instiftade år 2000 de så kallade Millennieproblemen, sju kända men olösta problem inom matematik. Det rör sig om sju frågor som förblivit obesvarade i decennier, och som man förväntade sig skulle dominera den matematiska forskningen under de hundra år som komma skulle. Poincarés förmodan är den nästa äldsta; Riemanns hypotes har gäckat vetenskapen ända sedan 1859. En lösning av vart och ett av Millennieproblemen skulle få djupt kända följder för förståelsen av matematik, och varje problem har ett pris på sitt huvud: En miljon dollar, och en prestige vars värde inte kan mätas i pengar. Poincarés förmodan hör till ett av de mest studerade: Mer eller mindre årligen sedan tidigt 1900-tal har hoppfulla matematiker hävdat sig ha ett bevis, bara för att efter bedömning fått erkänna sig slagna. Poincarés förmodan är notoriskt minerad mark, där små misstag kan bli både svårupptäckta och förödande på en och samma gång.

Det finns genialitet och genialitet: Lyckligt är det geni vars gåvor är uppenbara för alla, en kompositör, poet, konstnär eller virtuos. Värre blir det när din begåvnings natur är så komplex att den bara blir tydlig för en handfull andra, som befinner sig i samma division och som inte nödvändigtvis utgör etiska dygdemönster. I november 2002 publicerades en inskannad version av dokument skrivna av en rysk matematiker vid namn Grigori Perelman på arXiv, en digital samlingsplats för matematisk forskning. Perelmans publicering skedde utan marknadsföring – i sitt abstrakt nämnde upphovsmannen kort att avhandlingen var den första av tre, i vilken han ämnade bevisa Thurstons geometriseringsförmodan, utan att ens nämna att den avsevärt mer välkända Poincarés förmodan är ett speciallfall av den förstnämna: Ett bevis av Thurstons förmodan skulle även bevis Poincarés.

Den här bloggen har på många sätt och vis fått oanade konsekvenser för mig själv, huvudsakligen tack vare input från läsekretsen. Jag skrev för några månader sedan ett inlägg om den franska 1800-talsmatematikern Évariste Galois – som dog i en duell två dagar efter att han nedtecknat teorier så banbrytande att de förändrade matematiken som vi känner den – varpå en handfull matematiker, som föreföll vara svältfödda på matte som ämne inom sociala medier, hörde av med alltifrån korrektur till lyckönskningar. Det mejlväxlades, och när jag nämnde att jag gärna ville skriva om Poincarés förmodan visade det sig att en av matematikerna hade haft en handledare som var personligt bekant med Grigori Perelman. Jag fick därför möjligheten att ställa frågor till någon som inte bara var på avvägar bekant med huvudpersonen, utan även kunde bidra med ett insiderperspektiv.
Problemet med Perelmans bevis var flera: Det gjorde inte reklam för sig självt, och det böjde sig heller inte direkt baklänges för att vara enkelt och lättbegripligt. I sin helhet var detta monumentala matematiska dokument bara 39 sidor långt. Det kunde tillåta sig att vara kortfattat genom att inte inkludera sådant som upphovsmannen själv ansåg var självklart: Decennier av relevanta slutsatser uteslöts, helt enkelt för att de redan var dragna och att de gick att hitta på annat håll. Som min huvudsaklige matematikkorrespondent uttryckte det i ett litet fyrverkeri av underdrifter:
– Därför kan man vänta sig att Perelmans artikel är svårläst om man inte är väldigt insatt i Ricciflöde.
Jag ser framför mig en rimligt begåvad matematiker som är intresserad av men bara hjälpligt insatt i Ricciflöde (som är en metod för att deformera mångfalder, och därmed gör det möjligt att angripa Poincarés förmodan ur en mer fruktbar vinkel) och som sitter i sängen och slösurfar lite på arXiv vintern 2002, hittar Perelmans nyupplagda bevis och skiner upp i sin ensamhet: Äntligen något om Ricciflöde! Bara för att fatta absolut ingenting och dra slutsatsen att det rör sig om rappakalja.

Perelman fortsatte att posta återstoden av sitt bevis under loppet av de åtta månader som följde, och möttes inledningsvis av få eller inga reaktioner. Men oändligt sakta började det gå upp för en ytterst begränsad krets av människor vad som hänt: Grigori Perelman hade löst Poincarés förmodan. En kollega mejlade honom, och frågade om han själv ansåg att hans bevis för Thurstons geometriseringsförmodan även utgjorde ett komplett bevis för Poincarés dito. Svaret blev mycket kort:
– Det stämmer.

Till de som förhållandevis snabbt insåg vad Perelman åstadkommit hörde ett team av kinesiska matematiker. De tog Perelmans bevis och beslöt sig för att fylla igen alla luckorna, det vill säga infoga all den tidigare forskning som Perelman medvetet uteslutit. Resultatet blev en lunta på över 300 sidor. De tog också hela äran för lösningen av Poincarés förmodan, trots att de inte genomfört något egentligt matematiskt arbete utan bara tillhandahållit en form av arkivarietjänst.
Det är en fjäder i matematiksamhällets hatt och ett betryggande tecken på dess förmåga till självsanering att de kinesiska forskarna inte tilläts komma undan med det. Trots den från början begränsade förståelsen för Perelmans arbete är internet en hjälte i sammanhanget: Hans bevis publicerades för alla att se, kan inte avlägsnas och är tydligt märkt med både upphovsman och tidsstämpel. Efter ett långsamt eskalerande ramaskri tvingades kineserna göra avbön och publicera en ny version, där de tillstod att deras arbete bara utgjorde en sammanställning av kalkyler och slutsatser utförda av andra.

Kring 2006 var tanken att Perelman skulle tilldelas Fieldsmedaljen, den mest prestigefyllda utmärkelsen inom matematik, utdelad endast var fjärde år. John Ball, ordförande för den organisation som delar ut priset, reste samma år till Perelmans hemstad St Petersburg för att tala med honom om att komma till USA för att acceptera medaljen. Perelman, boendes i en liten kackerlacksfylld lägenhet tillsammans med sin ålderstigna mor, vägrade. Scenariot upprepade sig då Clayinstitutet hörde av sig för att ge Perelman den miljon dollar han fått rätt till för sin lösning av Poincarés förmodan.
– Jag är inte intresserad av pengar eller berömmelse, och vill inte visas upp som ett djur på zoo.
Min matematiska kontakt berättar att hans handledare ringde upp Grigori Perelman – Grisha, för vännerna – i St Petersburg efter att man tillkännagivit hans status som den första framgångsrike lösaren av ett millennieproblem: Perelmans mor svarade. Kort efter det att Perelman informerats om vem som ringde och varför slet han telefonen ur väggen.

I princip ingen tycks ha haft någon personlig kontakt med Grigori Perelman under de senaste sex åren. Icke desto mindre förekommer två utsagor om vad han sysselsätter sig med i dessa dagar: Enligt den ena är han arbetslös och utfattig, äter endast mörkt bröd, tar långa promenader, lyssnar på opera på en gisten grammofon och har helt övergett matematiken. Den andra är i princip identisk, med den modifikationen att han istället arbetar på Navier-Stokes ekvationer, som beskriver newtonska fluiders strömning och tryckfördelning. Nästa i ordningen av de sex millennieproblem som ännu återstår.

The New Yorker publicerade 2008 en lång artikel om Perelman, Poincarés förmodan och den skandal som följde, Manifold destiny, ett unikum av berättarkonst och research, som kom att bli mycket inflytelserik och som hör till de bästa exemplen på god journalistik som jag känner till.

2012-04-07 12:52 8 kommentarer